ベータ関数とガンマ関数で
\[B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p,q)}\]
っていう公式、どっちが分母でどっちが分子か分かりずらいですよね。
結論：\(p\)と\(q\)がめっちゃ大きい時、ベータ関数の定義から左辺は明らかに\(0\)。右辺も\(0\)になるためには、\((p+q-1)!\)が分母にくれば良い。
そんな詳しく解説するほどの内容でもないですが、一応ちゃんと説明します。
左辺については、ベータ関数の定義
\[B(p,q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1} dt\]
で\(p\)と\(q\)がめっちゃ大きい場合を考えると、区間内のほぼ全ての\(t\)について\(1\)未満の数をいっぱい掛け算して積分してるのでほぼ\(0\)です。
だったこと右辺については、ガンマ関数は引数が自然数のときはただの階乗であることを思い出せば、
\[\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}\]
という形で書けて、\(p\)と\(q\)がめっちゃ大きい時にこれは\(0\)に近づいていきます。
結論、\(p\)と\(q\)がめっちゃ大きい時に\(B(p,q)\)が\(0\)だから右辺も\(0\)になるためには・・・を考えれば、どっちが分母でどっちが分子かは簡単に判別つきます、という話でした。
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